求解 3x^2-5x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0.833333333+0.799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0.833333333-0.799305254i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-5x+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-5 替换 b，并用 4 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 4}}{2\times 3}$$

求 -12 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48}}{2\times 3}$$

将 -48 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

取 -23 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} 的解。 将 i\sqrt{23} 加上 5。

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} 的解。 将 5 减去 i\sqrt{23}。

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-5x+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$3x^{2}-5x+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-5x=-4$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{4}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{3} 除以 2 得 -\frac{5}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

将 \frac{25}{36} 加上 -\frac{4}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{6}。

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$