求解 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

求解 x 的值

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx+84。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 252 的所有此类整数对。

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

计算每对之和。

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

该解答是总和为 -32 的对。

$$a=-18 b=-14$$

将 3x^{2}-32x+84 改写为 \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)。

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 -14 中。

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

若要找到方程解，请解 x-6=0 和 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-32x+84=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-32 替换 b，并用 84 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

对 -32 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

求 -12 与 84 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

将 -1008 加上 1024。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

取 16 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

-32 的相反数是 32。

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{32±4}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{32±4}{6} 的解。 将 4 加上 32。

$$x=\frac{36}{6}$$

36 除以 6。

$$x=6$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{32±4}{6} 的解。 将 32 减去 4。

$$x=\frac{28}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{28}{6} 降低为最简分数。

$$x=\frac{14}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-32x+84=0$$

将等式的两边同时减去 84。

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

84 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-32x=-84$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

-84 除以 3。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

将 x 项的系数 -\frac{32}{3} 除以 2 得 -\frac{16}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{16}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{16}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

将 \frac{256}{9} 加上 -28。

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{16}{3}。

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$