求解 3x^2-3x(4x+6)+(4x+6)^2=12

$$3 x ^ { 2 } - 3 x ( 4 x + 6 ) + ( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 12$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{57}-15}{7}\approx -1.064309366$$

$$x=\frac{-\sqrt{57}-15}{7}\approx -3.221404919$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4x+6\right)^{2}。

$$3x^{2}-3x\left(4x+6\right)+16x^{2}+48x+36=12$$

将方程式两边同时减去 12。

$$3x^{2}-3x\left(4x+6\right)+16x^{2}+48x+36-12=0$$

将 36 减去 12，得到 24。

$$3x^{2}-3x\left(4x+6\right)+16x^{2}+48x+24=0$$

使用分配律将 -3x 乘以 4x+6。

$$3x^{2}-12x^{2}-18x+16x^{2}+48x+24=0$$

合并 3x^{2} 和 -12x^{2}，得到 -9x^{2}。

$$-9x^{2}-18x+16x^{2}+48x+24=0$$

合并 -9x^{2} 和 16x^{2}，得到 7x^{2}。

$$7x^{2}-18x+48x+24=0$$

合并 -18x 和 48x，得到 30x。

$$7x^{2}+30x+24=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 7 替换 a，30 替换 b，并用 24 替换 c。

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 7\times 24}}{2\times 7}$$

对 30 进行平方运算。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 7\times 24}}{2\times 7}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-28\times 24}}{2\times 7}$$

求 -28 与 24 的乘积。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-672}}{2\times 7}$$

将 -672 加上 900。

$$x=\frac{-30±\sqrt{228}}{2\times 7}$$

取 228 的平方根。

$$x=\frac{-30±2\sqrt{57}}{2\times 7}$$

求 2 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-30±2\sqrt{57}}{14}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-30±2\sqrt{57}}{14} 的解。 将 2\sqrt{57} 加上 -30。

$$x=\frac{2\sqrt{57}-30}{14}$$

-30+2\sqrt{57} 除以 14。

$$x=\frac{\sqrt{57}-15}{7}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-30±2\sqrt{57}}{14} 的解。 将 -30 减去 2\sqrt{57}。

$$x=\frac{-2\sqrt{57}-30}{14}$$

-30-2\sqrt{57} 除以 14。

$$x=\frac{-\sqrt{57}-15}{7}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{57}-15}{7} x=\frac{-\sqrt{57}-15}{7}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4x+6\right)^{2}。

$$3x^{2}-3x\left(4x+6\right)+16x^{2}+48x+36=12$$

将方程式两边同时减去 36。

$$3x^{2}-3x\left(4x+6\right)+16x^{2}+48x=12-36$$

将 12 减去 36，得到 -24。

$$3x^{2}-3x\left(4x+6\right)+16x^{2}+48x=-24$$

使用分配律将 -3x 乘以 4x+6。

$$3x^{2}-12x^{2}-18x+16x^{2}+48x=-24$$

合并 3x^{2} 和 -12x^{2}，得到 -9x^{2}。

$$-9x^{2}-18x+16x^{2}+48x=-24$$

合并 -9x^{2} 和 16x^{2}，得到 7x^{2}。

$$7x^{2}-18x+48x=-24$$

合并 -18x 和 48x，得到 30x。

$$7x^{2}+30x=-24$$

两边同时除以 7。

$$\frac{7x^{2}+30x}{7}=-\frac{24}{7}$$

除以 7 是乘以 7 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{30}{7}x=-\frac{24}{7}$$

将 x 项的系数 \frac{30}{7} 除以 2 得 \frac{15}{7}。然后在等式两边同时加上 \frac{15}{7} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{30}{7}x+\left(\frac{15}{7}\right)^{2}=-\frac{24}{7}+\left(\frac{15}{7}\right)^{2}$$

对 \frac{15}{7} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{30}{7}x+\frac{225}{49}=-\frac{24}{7}+\frac{225}{49}$$

将 \frac{225}{49} 加上 -\frac{24}{7}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{30}{7}x+\frac{225}{49}=\frac{57}{49}$$

因数 x^{2}+\frac{30}{7}x+\frac{225}{49}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{15}{7}\right)^{2}=\frac{57}{49}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{49}}$$

化简。

$$x+\frac{15}{7}=\frac{\sqrt{57}}{7} x+\frac{15}{7}=-\frac{\sqrt{57}}{7}$$

将等式的两边同时减去 \frac{15}{7}。

$$x=\frac{\sqrt{57}-15}{7} x=\frac{-\sqrt{57}-15}{7}$$