求解 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=1$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx-1。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 只有此类对是系统解答。

$$a=-3 b=1$$

将 3x^{2}-2x-1 改写为 \left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)。

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

从 3x^{2}-3x 分解出因子 3x。

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

若要找到方程解，请解 x-1=0 和 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-2x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-2 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

将 12 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

取 16 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{2±4}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±4}{6} 的解。 将 4 加上 2。

$$x=\frac{6}{6}$$

6 除以 6。

$$x=1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±4}{6} 的解。 将 2 减去 4。

$$x=-\frac{2}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-2}{6} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-2x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$3x^{2}-2x=1$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{2}{3} 除以 2 得 -\frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 \frac{1}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{3}。

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$