求解 3x^2+x=11

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1.755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2.088760432$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+x=11$$

将等式的两边同时减去 11。

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

11 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+x-11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，1 替换 b，并用 -11 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -11 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

将 132 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} 的解。 将 \sqrt{133} 加上 -1。

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{133}。

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+x=11$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{1}{3} 除以 2 得 \frac{1}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

将 \frac{1}{36} 加上 \frac{11}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$