求解 3x^2+9x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 4 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -0.542572892$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -2.457427108$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+9x+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，9 替换 b，并用 4 替换 c。

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

对 9 进行平方运算。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 4}}{2\times 3}$$

求 -12 与 4 的乘积。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-48}}{2\times 3}$$

将 -48 加上 81。

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6} 的解。 将 \sqrt{33} 加上 -9。

$$x=\frac{\sqrt{33}-9}{6}$$

-9+\sqrt{33} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6} 的解。 将 -9 减去 \sqrt{33}。

$$x=\frac{-\sqrt{33}-9}{6}$$

-9-\sqrt{33} 除以 6。

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+9x+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$3x^{2}+9x+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+9x=-4$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{4}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{4}{3}$$

9 除以 3。

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{3}$$

将 x 项的系数 3 除以 2 得 \frac{3}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{4}{3}+\frac{9}{4}$$

将 \frac{9}{4} 加上 -\frac{4}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{11}{12}$$

因数 x^{2}+3x+\frac{9}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$