求解 3x^2+7x-2=0

$$3 x ^ { 2 } + 7 x - 2 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{73}-7}{6}\approx 0.257333958$$

$$x=\frac{-\sqrt{73}-7}{6}\approx -2.590667291$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+7x-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，7 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

对 7 进行平方运算。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -2 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+24}}{2\times 3}$$

将 24 加上 49。

$$x=\frac{-7±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-7±\sqrt{73}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-7±\sqrt{73}}{6} 的解。 将 \sqrt{73} 加上 -7。

$$x=\frac{\sqrt{73}-7}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-7±\sqrt{73}}{6} 的解。 将 -7 减去 \sqrt{73}。

$$x=\frac{-\sqrt{73}-7}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{73}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{73}-7}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+7x-2=0$$

在等式两边同时加 2。

$$3x^{2}+7x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+7x=-\left(-2\right)$$

将 0 减去 -2。

$$3x^{2}+7x=2$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=\frac{2}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{2}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{7}{3} 除以 2 得 \frac{7}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{7}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{7}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{2}{3}+\frac{49}{36}$$

将 \frac{49}{36} 加上 \frac{2}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{73}{36}$$

对 x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{7}{6}。

$$x=\frac{\sqrt{73}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{73}-7}{6}$$