求解 3x^2+4x+5=42

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 5 = 42$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{115} - 2}{3} \approx 2.907935098$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}\approx -4.241268432$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+4x+5=42$$

将等式的两边同时减去 42。

$$3x^{2}+4x+5-42=42-42$$

42 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+4x+5-42=0$$

将 5 减去 42。

$$3x^{2}+4x-37=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，4 替换 b，并用 -37 替换 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

对 4 进行平方运算。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-37\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -37 的乘积。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+444}}{2\times 3}$$

将 444 加上 16。

$$x=\frac{-4±\sqrt{460}}{2\times 3}$$

取 460 的平方根。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6} 的解。 将 2\sqrt{115} 加上 -4。

$$x=\frac{2\sqrt{115}-4}{6}$$

-4+2\sqrt{115} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-4±2\sqrt{115}}{6} 的解。 将 -4 减去 2\sqrt{115}。

$$x=\frac{-2\sqrt{115}-4}{6}$$

-4-2\sqrt{115} 除以 6。

$$x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+4x+5=42$$

将等式的两边同时减去 5。

$$3x^{2}+4x+5-5=42-5$$

5 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+4x=42-5$$

将 42 减去 5。

$$3x^{2}+4x=37$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{37}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{37}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{4}{3} 除以 2 得 \frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{37}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{37}{3}+\frac{4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 \frac{37}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{115}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{115}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{115}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{115}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{115}}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{115}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{115}-2}{3}$$