求解 3x^2+39x-506=0

$$3 x ^ { 2 } + 39 x - 506 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2}\approx 8.022970311$$

$$x=-\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2}\approx -21.022970311$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+39x-506=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，39 替换 b，并用 -506 替换 c。

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 3\left(-506\right)}}{2\times 3}$$

对 39 进行平方运算。

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 3\left(-506\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-12\left(-506\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -506 的乘积。

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+6072}}{2\times 3}$$

将 6072 加上 1521。

$$x=\frac{-39±\sqrt{7593}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-39±\sqrt{7593}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-39±\sqrt{7593}}{6} 的解。 将 \sqrt{7593} 加上 -39。

$$x=\frac{\sqrt{7593}-39}{6}$$

-39+\sqrt{7593} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-39±\sqrt{7593}}{6} 的解。 将 -39 减去 \sqrt{7593}。

$$x=\frac{-\sqrt{7593}-39}{6}$$

-39-\sqrt{7593} 除以 6。

$$x=-\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2} x=-\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+39x-506=0$$

在等式两边同时加 506。

$$3x^{2}+39x-506-\left(-506\right)=-\left(-506\right)$$

-506 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+39x=-\left(-506\right)$$

将 0 减去 -506。

$$3x^{2}+39x=506$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+39x}{3}=\frac{506}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{39}{3}x=\frac{506}{3}$$

39 除以 3。

$$x^{2}+13x=\frac{506}{3}$$

将 x 项的系数 13 除以 2 得 \frac{13}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{13}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{506}{3}+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{13}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{506}{3}+\frac{169}{4}$$

将 \frac{169}{4} 加上 \frac{506}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{2531}{12}$$

因数 x^{2}+13x+\frac{169}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{2531}{12}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2531}{12}}$$

化简。

$$x+\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{7593}}{6} x+\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{7593}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{13}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2} x=-\frac{\sqrt{7593}}{6}-\frac{13}{2}$$