求解 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+2x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，2 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

对 2 进行平方运算。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

将 -12 加上 4。

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

取 -8 的平方根。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} 的解。 将 2i\sqrt{2} 加上 -2。

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

-2+2i\sqrt{2} 除以 6。

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} 的解。 将 -2 减去 2i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

-2-2i\sqrt{2} 除以 6。

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+2x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+2x=-1$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{2}{3} 除以 2 得 \frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 -\frac{1}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$