求解 3t^2-14t+22=0

$$3 t ^ { 2 } - 14 t + 22 = 0$$

求解 t 的值

$$t=\frac{7+\sqrt{17}i}{3}\approx 2.333333333+1.374368542i$$

$$t=\frac{-\sqrt{17}i+7}{3}\approx 2.333333333-1.374368542i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3t^{2}-14t+22=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-14 替换 b，并用 22 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\times 22}}{2\times 3}$$

对 -14 进行平方运算。

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\times 22}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\times 22}}{2\times 3}$$

求 -12 与 22 的乘积。

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-264}}{2\times 3}$$

将 -264 加上 196。

$$t=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

取 -68 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

-14 的相反数是 14。

$$t=\frac{14±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$t=\frac{14±2\sqrt{17}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{14±2\sqrt{17}i}{6} 的解。 将 2i\sqrt{17} 加上 14。

$$t=\frac{14+2\sqrt{17}i}{6}$$

14+2i\sqrt{17} 除以 6。

$$t=\frac{7+\sqrt{17}i}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{14±2\sqrt{17}i}{6} 的解。 将 14 减去 2i\sqrt{17}。

$$t=\frac{-2\sqrt{17}i+14}{6}$$

14-2i\sqrt{17} 除以 6。

$$t=\frac{-\sqrt{17}i+7}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{7+\sqrt{17}i}{3} t=\frac{-\sqrt{17}i+7}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3t^{2}-14t+22=0$$

将等式的两边同时减去 22。

$$3t^{2}-14t+22-22=-22$$

22 减去它自己得 0。

$$3t^{2}-14t=-22$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3t^{2}-14t}{3}=-\frac{22}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$t^{2}-\frac{14}{3}t=-\frac{22}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{14}{3} 除以 2 得 -\frac{7}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-\frac{14}{3}t+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{22}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-\frac{14}{3}t+\frac{49}{9}=-\frac{22}{3}+\frac{49}{9}$$

将 \frac{49}{9} 加上 -\frac{22}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$t^{2}-\frac{14}{3}t+\frac{49}{9}=-\frac{17}{9}$$

因数 t^{2}-\frac{14}{3}t+\frac{49}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

化简。

$$t-\frac{7}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} t-\frac{7}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{3}。

$$t=\frac{7+\sqrt{17}i}{3} t=\frac{-\sqrt{17}i+7}{3}$$