求解 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

求解 q 的值

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3q^{2}+aq+bq+16。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值, 所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 48 的所有此类整数对。

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

计算每对之和。

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

该解答是总和为 -19 的对。

$$a=-16 b=-3$$

将 3q^{2}-19q+16 改写为 \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)。

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

将 q 放在第二个组中的第一个和 -1 中。

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3q-16。

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 3q-16=0 和 q-1=0。

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3q^{2}-19q+16=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-19 替换 b，并用 16 替换 c。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

对 -19 进行平方运算。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

求 -12 与 16 的乘积。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

将 -192 加上 361。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

取 169 的平方根。

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

-19 的相反数是 19。

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$q=\frac{19±13}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 q=\frac{19±13}{6} 的解。 将 13 加上 19。

$$q=\frac{32}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{32}{6} 降低为最简分数。

$$q=\frac{16}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 q=\frac{19±13}{6} 的解。 将 19 减去 13。

$$q=\frac{6}{6}$$

6 除以 6。

$$q=1$$

现已求得方程式的解。

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3q^{2}-19q+16=0$$

将等式的两边同时减去 16。

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

16 减去它自己得 0。

$$3q^{2}-19q=-16$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{19}{3} 除以 2 得 -\frac{19}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{19}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{19}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

将 \frac{361}{36} 加上 -\frac{16}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

对 q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

化简。

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{19}{6}。

$$q=\frac{16}{3} q=1$$