求解 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

求解 n 的值

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3n^{2}+an+bn-15。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -45 的所有此类整数对。

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

计算每对之和。

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

该解答是总和为 -4 的对。

$$a=-9 b=5$$

将 3n^{2}-4n-15 改写为 \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)。

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

将 3n 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 n-3。

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

若要找到方程解，请解 n-3=0 和 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3n^{2}-4n-15=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-4 替换 b，并用 -15 替换 c。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

对 -4 进行平方运算。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -15 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

将 180 加上 16。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

取 196 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4 的相反数是 4。

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$n=\frac{4±14}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{4±14}{6} 的解。 将 14 加上 4。

$$n=\frac{18}{6}$$

18 除以 6。

$$n=3$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{4±14}{6} 的解。 将 4 减去 14。

$$n=-\frac{10}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-10}{6} 降低为最简分数。

$$n=-\frac{5}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3n^{2}-4n-15=0$$

在等式两边同时加 15。

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 减去它自己得 0。

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

将 0 减去 -15。

$$3n^{2}-4n=15$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

15 除以 3。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{3} 除以 2 得 -\frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 5。

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

因数 n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

化简。

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{3}。

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$