求解 3m^2+4m+1=5/9

$$3 m ^ { 2 } + 4 m + 1 = \frac { 5 } { 9 }$$

求解 m 的值

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -0.122335613$$

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}\approx -1.210997721$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{9}。

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=\frac{5}{9}-\frac{5}{9}$$

\frac{5}{9} 减去它自己得 0。

$$3m^{2}+4m+1-\frac{5}{9}=0$$

将 1 减去 \frac{5}{9}。

$$3m^{2}+4m+\frac{4}{9}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，4 替换 b，并用 \frac{4}{9} 替换 c。

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

对 4 进行平方运算。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-12\times \frac{4}{9}}}{2\times 3}$$

求 -12 与 \frac{4}{9} 的乘积。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-\frac{16}{3}}}{2\times 3}$$

将 -\frac{16}{3} 加上 16。

$$m=\frac{-4±\sqrt{\frac{32}{3}}}{2\times 3}$$

取 \frac{32}{3} 的平方根。

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6} 的解。 将 \frac{4\sqrt{6}}{3} 加上 -4。

$$m=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

-4+\frac{4\sqrt{6}}{3} 除以 6。

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 m=\frac{-4±\frac{4\sqrt{6}}{3}}{6} 的解。 将 -4 减去 \frac{4\sqrt{6}}{3}。

$$m=\frac{-\frac{4\sqrt{6}}{3}-4}{6}$$

-4-\frac{4\sqrt{6}}{3} 除以 6。

$$m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3m^{2}+4m+1=\frac{5}{9}$$

将等式的两边同时减去 1。

$$3m^{2}+4m+1-1=\frac{5}{9}-1$$

1 减去它自己得 0。

$$3m^{2}+4m=\frac{5}{9}-1$$

将 \frac{5}{9} 减去 1。

$$3m^{2}+4m=-\frac{4}{9}$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3m^{2}+4m}{3}=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{\frac{4}{9}}{3}$$

-\frac{4}{9} 除以 3。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m=-\frac{4}{27}$$

将 x 项的系数 \frac{4}{3} 除以 2 得 \frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{27}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=-\frac{4}{27}+\frac{4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 -\frac{4}{27}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}=\frac{8}{27}$$

因数 m^{2}+\frac{4}{3}m+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(m+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8}{27}}$$

化简。

$$m+\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{9} m+\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{6}}{9}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{3}。

$$m=\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3} m=-\frac{2\sqrt{6}}{9}-\frac{2}{3}$$