求解 3b^2-8b-15=0

$$3 b ^ { 2 } - 8 b - 15 = 0$$

求解 b 的值

$$b = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3.936749892$$

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1.270083225$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3b^{2}-8b-15=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-8 替换 b，并用 -15 替换 c。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

对 -8 进行平方运算。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -15 的乘积。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

将 180 加上 64。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

取 244 的平方根。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

-8 的相反数是 8。

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} 的解。 将 2\sqrt{61} 加上 8。

$$b=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

8+2\sqrt{61} 除以 6。

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 b=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} 的解。 将 8 减去 2\sqrt{61}。

$$b=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

8-2\sqrt{61} 除以 6。

$$b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3b^{2}-8b-15=0$$

在等式两边同时加 15。

$$3b^{2}-8b-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 减去它自己得 0。

$$3b^{2}-8b=-\left(-15\right)$$

将 0 减去 -15。

$$3b^{2}-8b=15$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3b^{2}-8b}{3}=\frac{15}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=\frac{15}{3}$$

15 除以 3。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b=5$$

将 x 项的系数 -\frac{8}{3} 除以 2 得 -\frac{4}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{4}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{4}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

将 \frac{16}{9} 加上 5。

$$b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

因数 b^{2}-\frac{8}{3}b+\frac{16}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(b-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

化简。

$$b-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} b-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{4}{3}。

$$b=\frac{\sqrt{61}+4}{3} b=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$