求解 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

求解 k 的值

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0.223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0.223606798$$

运用二次公式的步骤

将方程式的两边同时乘以 4k^{2}+1。

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

若要对 \frac{-16k}{4k^{2}+1} 进行幂运算，请同时对分子和分母进行幂运算，然后相除。

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

将 3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 化为简分数。

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

将 \frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) 化为简分数。

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

展开 \left(-16k\right)^{2}。

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

计算 2 的 -16 乘方，得到 256。

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

将 3 与 256 相乘，得到 768。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4k^{2}+1\right)^{2}。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

将方程式两边同时减去 32。

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

使用分配律将 768k^{2} 乘以 4k^{2}+1。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

因式分解 16k^{4}+8k^{2}+1。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

若要对表达式执行加法或减法运算，请重写该表达式，使其分母相同。 求 32 与 \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 的乘积。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

由于 \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 和 \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

完成 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2} 中的乘法运算。

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

合并 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32 中的项。

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

将方程式的两边同时乘以 \left(4k^{2}+1\right)^{2}。

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

将 t 替换为 k^{2}。

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 2560、用 512 替换 b、用 -32 替换 c。

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

完成计算。

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{-512±768}{5120} 的解。

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

从 k=t^{2} 以来，解决方案是通过计算积极 t k=±\sqrt{t} 获得的。

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$