求解 3x^4-14x^3-6x^2+6x-5=0

$$3 { x }^{ 4 } -14 { x }^{ 3 } -6 { x }^{ 2 } +6x-5=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}\approx 0.333333333-0.471404521i$$

$$x=5$$

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\approx 0.333333333+0.471404521i$$

$$x=-1$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -5，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 除以 x+1 得 3x^{3}-17x^{2}+11x-5。 求解结果等于 0 的方程式。

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -5，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=5$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{3}-17x^{2}+11x-5 除以 x-5 得 3x^{2}-2x+1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$3x^{2}-2x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 3、用 -2 替换 b、用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

完成计算。

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 3x^{2}-2x+1=0 的解。

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-1 x=5 x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

求解 x 的值

$$x=-1$$

$$x=5$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -5，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{4}-14x^{3}-6x^{2}+6x-5 除以 x+1 得 3x^{3}-17x^{2}+11x-5。 求解结果等于 0 的方程式。

$$3x^{3}-17x^{2}+11x-5=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -5，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{5}{3},±5,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=5$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{3}-17x^{2}+11x-5 除以 x-5 得 3x^{2}-2x+1。 求解结果等于 0 的方程式。

$$3x^{2}-2x+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 3、用 -2 替换 b、用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 1}}{2\times 3}$$

完成计算。

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{6}$$

由于实数域中未定义负数的平方根，因此无解。

$$x\in \emptyset$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-1 x=5$$