求解 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

因式分解

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

求解步骤

若要因式分解表达式，请求解等于 0 的方程式。

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -40，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-2$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 除以 x+2 得 3x^{3}-5x^{2}+12x-20。 若要因式分解结果，请求解等于 0 的方程式。

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -20，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=\frac{5}{3}$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 除以 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 得 x^{2}+4。 若要因式分解结果，请求解等于 0 的方程式。

$$x^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 0 替换 b、用 4 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

不因式分解多项式 x^{2}+4，因为它没有任何有理数。

$$x^{2}+4$$

使用得出的根重写因式分解表达式。

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

求值

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$