求解 3x^3+2x^2-32=0

$$3 { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -32 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-4\sqrt{2}i-4}{3}\approx -1.333333333-1.885618083i$$

$$x=2$$

$$x=\frac{-4+4\sqrt{2}i}{3}\approx -1.333333333+1.885618083i$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -32，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{32}{3},±32,±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=2$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{3}+2x^{2}-32 除以 x-2 得 3x^{2}+8x+16。 求解结果等于 0 的方程式。

$$3x^{2}+8x+16=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 3、用 8 替换 b、用 16 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

完成计算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{-128}}{6}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 3x^{2}+8x+16=0 的解。

$$x=\frac{-4i\sqrt{2}-4}{3} x=\frac{-4+4i\sqrt{2}}{3}$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=2 x=\frac{-4i\sqrt{2}-4}{3} x=\frac{-4+4i\sqrt{2}}{3}$$

求解 x 的值

$$x=2$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -32，q 除以首项系数 3。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±\frac{32}{3},±32,±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=2$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 3x^{3}+2x^{2}-32 除以 x-2 得 3x^{2}+8x+16。 求解结果等于 0 的方程式。

$$3x^{2}+8x+16=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 3、用 8 替换 b、用 16 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

完成计算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{-128}}{6}$$

由于实数域中未定义负数的平方根，因此无解。

$$x\in \emptyset$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=2$$