求解 3x^2-6x+1=0

$$3 { x }^{ 2 } -6x+1=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 1.816496581$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1\approx 0.183503419$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-6x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-6 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

对 -6 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 3}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-12}}{2\times 3}$$

将 -12 加上 36。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{24}}{2\times 3}$$

取 24 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

-6 的相反数是 6。

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6} 的解。 将 2\sqrt{6} 加上 6。

$$x=\frac{2\sqrt{6}+6}{6}$$

6+2\sqrt{6} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{6±2\sqrt{6}}{6} 的解。 将 6 减去 2\sqrt{6}。

$$x=\frac{6-2\sqrt{6}}{6}$$

6-2\sqrt{6} 除以 6。

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-6x+1=0$$

将等式的两边同时减去 1。

$$3x^{2}-6x+1-1=-1$$

1 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-6x=-1$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-6x}{3}=-\frac{1}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{3}\right)x=-\frac{1}{3}$$

-6 除以 3。

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{3}$$

将 x 项的系数 -2 除以 2 得 -1。然后在等式两边同时加上 -1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{3}+1$$

将 1 加上 -\frac{1}{3}。

$$x^{2}-2x+1=\frac{2}{3}$$

对 x^{2}-2x+1 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{2}{3}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

化简。

$$x-1=\frac{\sqrt{6}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{6}}{3}$$

在等式两边同时加 1。

$$x=\frac{\sqrt{6}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{6}}{3}+1$$