求解 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx-372。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -1116 的所有此类整数对。

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

计算每对之和。

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

该解答是总和为 -5 的对。

$$a=-36 b=31$$

将 3x^{2}-5x-372 改写为 \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)。

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 31 中。

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-12。

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 x-12=0 和 3x+31=0。

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-5x-372=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-5 替换 b，并用 -372 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -372 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

将 4464 加上 25。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

取 4489 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

-5 的相反数是 5。

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{5±67}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{5±67}{6} 的解。 将 67 加上 5。

$$x=\frac{72}{6}$$

72 除以 6。

$$x=12$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{5±67}{6} 的解。 将 5 减去 67。

$$x=-\frac{62}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-62}{6} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{31}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-5x-372=0$$

在等式两边同时加 372。

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

-372 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

将 0 减去 -372。

$$3x^{2}-5x=372$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

372 除以 3。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

将 x 项的系数 -\frac{5}{3} 除以 2 得 -\frac{5}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{5}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{5}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

将 \frac{25}{36} 加上 124。

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

对 x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{5}{6}。

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$