求解 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2.522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1.189254788$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-4x-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-4 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

将 108 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

取 124 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} 的解。 将 2\sqrt{31} 加上 4。

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

4+2\sqrt{31} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} 的解。 将 4 减去 2\sqrt{31}。

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

4-2\sqrt{31} 除以 6。

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-4x-9=0$$

在等式两边同时加 9。

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

将 0 减去 -9。

$$3x^{2}-4x=9$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

9 除以 3。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{3} 除以 2 得 -\frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 3。

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$