求解 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx-60。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -180 的所有此类整数对。

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

计算每对之和。

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

该解答是总和为 -31 的对。

$$a=-36 b=5$$

将 3x^{2}-31x-60 改写为 \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)。

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-12。

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

若要找到方程解，请解 x-12=0 和 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-31x-60=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-31 替换 b，并用 -60 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

对 -31 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -60 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

将 720 加上 961。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

取 1681 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31 的相反数是 31。

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{31±41}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{31±41}{6} 的解。 将 41 加上 31。

$$x=\frac{72}{6}$$

72 除以 6。

$$x=12$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{31±41}{6} 的解。 将 31 减去 41。

$$x=-\frac{10}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-10}{6} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{5}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-31x-60=0$$

在等式两边同时加 60。

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

将 0 减去 -60。

$$3x^{2}-31x=60$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60 除以 3。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

将 x 项的系数 -\frac{31}{3} 除以 2 得 -\frac{31}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{31}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{31}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

将 \frac{961}{36} 加上 20。

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{31}{6}。

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$