求解 3x^2-2x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0.333333333+1.699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.699673171i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-2x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-2 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

求 -12 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

将 -108 加上 4。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

取 -104 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

-2 的相反数是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} 的解。 将 2i\sqrt{26} 加上 2。

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

2+2i\sqrt{26} 除以 6。

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} 的解。 将 2 减去 2i\sqrt{26}。

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

2-2i\sqrt{26} 除以 6。

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-2x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-2x=-9$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

-9 除以 3。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

将 x 项的系数 -\frac{2}{3} 除以 2 得 -\frac{1}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

将 \frac{1}{9} 加上 -3。

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

因数 x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{3}。

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$