求解 3x^2-12x+11=0

$$3 { x }^{ 2 } -12x+11=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2\approx 2.577350269$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2\approx 1.422649731$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}-12x+11=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，-12 替换 b，并用 11 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 11}}{2\times 3}$$

对 -12 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 11}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 11}}{2\times 3}$$

求 -12 与 11 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 3}$$

将 -132 加上 144。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 3}$$

取 12 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 3}$$

-12 的相反数是 12。

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{12±2\sqrt{3}}{6} 的解。 将 2\sqrt{3} 加上 12。

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{6}$$

12+2\sqrt{3} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{12±2\sqrt{3}}{6} 的解。 将 12 减去 2\sqrt{3}。

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{6}$$

12-2\sqrt{3} 除以 6。

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}-12x+11=0$$

将等式的两边同时减去 11。

$$3x^{2}-12x+11-11=-11$$

11 减去它自己得 0。

$$3x^{2}-12x=-11$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}-12x}{3}=-\frac{11}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)x=-\frac{11}{3}$$

-12 除以 3。

$$x^{2}-4x=-\frac{11}{3}$$

将 x 项的系数 -4 除以 2 得 -2。然后在等式两边同时加上 -2 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{11}{3}+\left(-2\right)^{2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$x^{2}-4x+4=-\frac{11}{3}+4$$

将 4 加上 -\frac{11}{3}。

$$x^{2}-4x+4=\frac{1}{3}$$

因数 x^{2}-4x+4。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{1}{3}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$$

化简。

$$x-2=\frac{\sqrt{3}}{3} x-2=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

在等式两边同时加 2。

$$x=\frac{\sqrt{3}}{3}+2 x=-\frac{\sqrt{3}}{3}+2$$