求解 3x^2+8x-3=65

$$3 { x }^{ 2 } +8x-3=65$$

求解 x 的值

$$x = \frac{2 \sqrt{55} - 4}{3} \approx 3.610798991$$

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}\approx -6.277465658$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+8x-3=65$$

将等式的两边同时减去 65。

$$3x^{2}+8x-3-65=65-65$$

65 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+8x-3-65=0$$

将 -3 减去 65。

$$3x^{2}+8x-68=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，8 替换 b，并用 -68 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -68 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+816}}{2\times 3}$$

将 816 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{880}}{2\times 3}$$

取 880 的平方根。

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} 的解。 将 4\sqrt{55} 加上 -8。

$$x=\frac{4\sqrt{55}-8}{6}$$

-8+4\sqrt{55} 除以 6。

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} 的解。 将 -8 减去 4\sqrt{55}。

$$x=\frac{-4\sqrt{55}-8}{6}$$

-8-4\sqrt{55} 除以 6。

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+8x-3=65$$

在等式两边同时加 3。

$$3x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=65-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+8x=65-\left(-3\right)$$

将 65 减去 -3。

$$3x^{2}+8x=68$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{68}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{68}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{8}{3} 除以 2 得 \frac{4}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{4}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{4}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{68}{3}+\frac{16}{9}$$

将 \frac{16}{9} 加上 \frac{68}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{220}{9}$$

因数 x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{220}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{220}{9}}$$

化简。

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{55}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2\sqrt{55}}{3}$$

将等式的两边同时减去 \frac{4}{3}。

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$