求解 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

求解 x 的值

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

通过分组进行因式分解的步骤

将方程式两边同时减去 138。

$$3x^{2}+5x-138=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx-138。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -414 的所有此类整数对。

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

计算每对之和。

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

该解答是总和为 5 的对。

$$a=-18 b=23$$

将 3x^{2}+5x-138 改写为 \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)。

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

将 3x 放在第二个组中的第一个和 23 中。

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

若要找到方程解，请解 x-6=0 和 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+5x=138$$

将等式的两边同时减去 138。

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

138 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+5x-138=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，5 替换 b，并用 -138 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

求 -12 与 -138 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

将 1656 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

取 1681 的平方根。

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±41}{6} 的解。 将 41 加上 -5。

$$x=\frac{36}{6}$$

36 除以 6。

$$x=6$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±41}{6} 的解。 将 -5 减去 41。

$$x=-\frac{46}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-46}{6} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{23}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+5x=138$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

138 除以 3。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

将 x 项的系数 \frac{5}{3} 除以 2 得 \frac{5}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

将 \frac{25}{36} 加上 46。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

因数 x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{6}。

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$