求解 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+5x+9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，5 替换 b，并用 9 替换 c。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

求 -12 与 9 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

将 -108 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

取 -83 的平方根。

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} 的解。 将 i\sqrt{83} 加上 -5。

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} 的解。 将 -5 减去 i\sqrt{83}。

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+5x+9=0$$

将等式的两边同时减去 9。

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

9 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+5x=-9$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

-9 除以 3。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

将 x 项的系数 \frac{5}{3} 除以 2 得 \frac{5}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

将 \frac{25}{36} 加上 -3。

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

对 x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{6}。

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$