求解 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5+1.190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.190238071i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+3x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，3 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

对 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

求 -12 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

将 -60 加上 9。

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

取 -51 的平方根。

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} 的解。 将 i\sqrt{51} 加上 -3。

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

-3+i\sqrt{51} 除以 6。

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} 的解。 将 -3 减去 i\sqrt{51}。

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

-3-i\sqrt{51} 除以 6。

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+3x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+3x=-5$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

3 除以 3。

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -\frac{5}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$