求解 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

求解 x 的值

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx+10。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 由于 a+b 是正数, a 并且 b 都是正数。 列出提供产品 30 的所有此类整数对。

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

计算每对之和。

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

该解答是总和为 17 的对。

$$a=2 b=15$$

将 3x^{2}+17x+10 改写为 \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)。

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 5 中。

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x+2。

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 3x+2=0 和 x+5=0。

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$3x^{2}+17x+10=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 3 替换 a，17 替换 b，并用 10 替换 c。

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

对 17 进行平方运算。

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

求 -12 与 10 的乘积。

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

将 -120 加上 289。

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

取 169 的平方根。

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

求 2 与 3 的乘积。

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-17±13}{6} 的解。 将 13 加上 -17。

$$x=-\frac{4}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-4}{6} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{2}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-17±13}{6} 的解。 将 -17 减去 13。

$$x=-\frac{30}{6}$$

-30 除以 6。

$$x=-5$$

现已求得方程式的解。

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$3x^{2}+17x+10=0$$

将等式的两边同时减去 10。

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

10 减去它自己得 0。

$$3x^{2}+17x=-10$$

两边同时除以 3。

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

除以 3 是乘以 3 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

将 x 项的系数 \frac{17}{3} 除以 2 得 \frac{17}{6}。然后在等式两边同时加上 \frac{17}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

对 \frac{17}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

将 \frac{289}{36} 加上 -\frac{10}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

对 x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

化简。

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{17}{6}。

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$