求解 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0.137931034+0.471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0.137931034-0.471544632i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$29x^{2}+8x+7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 29 替换 a，8 替换 b，并用 7 替换 c。

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

对 8 进行平方运算。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

求 -4 与 29 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

求 -116 与 7 的乘积。

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

将 -812 加上 64。

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

取 -748 的平方根。

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

求 2 与 29 的乘积。

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} 的解。 将 2i\sqrt{187} 加上 -8。

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

-8+2i\sqrt{187} 除以 58。

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} 的解。 将 -8 减去 2i\sqrt{187}。

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

-8-2i\sqrt{187} 除以 58。

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$29x^{2}+8x+7=0$$

将等式的两边同时减去 7。

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

7 减去它自己得 0。

$$29x^{2}+8x=-7$$

两边同时除以 29。

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

除以 29 是乘以 29 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

将 x 项的系数 \frac{8}{29} 除以 2 得 \frac{4}{29}。然后在等式两边同时加上 \frac{4}{29} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

对 \frac{4}{29} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

将 \frac{16}{841} 加上 -\frac{7}{29}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

因数 x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

化简。

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

将等式的两边同时减去 \frac{4}{29}。

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$