求解 27x^2+59x-21=0

$$27 { x }^{ 2 } +59x-21=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}\approx 0.311521488$$

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}\approx -2.496706673$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$27x^{2}+59x-21=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 27 替换 a，59 替换 b，并用 -21 替换 c。

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

对 59 进行平方运算。

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 27\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

求 -4 与 27 的乘积。

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-108\left(-21\right)}}{2\times 27}$$

求 -108 与 -21 的乘积。

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+2268}}{2\times 27}$$

将 2268 加上 3481。

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{2\times 27}$$

求 2 与 27 的乘积。

$$x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54} 的解。 将 \sqrt{5749} 加上 -59。

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-59±\sqrt{5749}}{54} 的解。 将 -59 减去 \sqrt{5749}。

$$x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$27x^{2}+59x-21=0$$

在等式两边同时加 21。

$$27x^{2}+59x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

-21 减去它自己得 0。

$$27x^{2}+59x=-\left(-21\right)$$

将 0 减去 -21。

$$27x^{2}+59x=21$$

两边同时除以 27。

$$\frac{27x^{2}+59x}{27}=\frac{21}{27}$$

除以 27 是乘以 27 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{21}{27}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{21}{27} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{59}{27}x=\frac{7}{9}$$

将 x 项的系数 \frac{59}{27} 除以 2 得 \frac{59}{54}。然后在等式两边同时加上 \frac{59}{54} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{7}{9}+\left(\frac{59}{54}\right)^{2}$$

对 \frac{59}{54} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{7}{9}+\frac{3481}{2916}$$

将 \frac{3481}{2916} 加上 \frac{7}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}=\frac{5749}{2916}$$

因数 x^{2}+\frac{59}{27}x+\frac{3481}{2916}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}=\frac{5749}{2916}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{59}{54}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5749}{2916}}$$

化简。

$$x+\frac{59}{54}=\frac{\sqrt{5749}}{54} x+\frac{59}{54}=-\frac{\sqrt{5749}}{54}$$

将等式的两边同时减去 \frac{59}{54}。

$$x=\frac{\sqrt{5749}-59}{54} x=\frac{-\sqrt{5749}-59}{54}$$