求解 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1.583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2.806082918$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$27x^{2}+33x-120=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 27 替换 a，33 替换 b，并用 -120 替换 c。

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

对 33 进行平方运算。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

求 -4 与 27 的乘积。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

求 -108 与 -120 的乘积。

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

将 12960 加上 1089。

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

取 14049 的平方根。

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

求 2 与 27 的乘积。

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} 的解。 将 3\sqrt{1561} 加上 -33。

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

-33+3\sqrt{1561} 除以 54。

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} 的解。 将 -33 减去 3\sqrt{1561}。

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

-33-3\sqrt{1561} 除以 54。

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$27x^{2}+33x-120=0$$

在等式两边同时加 120。

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 减去它自己得 0。

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

将 0 减去 -120。

$$27x^{2}+33x=120$$

两边同时除以 27。

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

除以 27 是乘以 27 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{33}{27} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{120}{27} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

将 x 项的系数 \frac{11}{9} 除以 2 得 \frac{11}{18}。然后在等式两边同时加上 \frac{11}{18} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

对 \frac{11}{18} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

将 \frac{121}{324} 加上 \frac{40}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

因数 x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

化简。

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

将等式的两边同时减去 \frac{11}{18}。

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$