求解 27=22t-5t^2

$$27 = 22 t - 5 t ^ { 2 }$$

求解 t 的值

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}\approx 2.2+0.748331477i$$

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}\approx 2.2-0.748331477i$$

运用二次公式的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$22t-5t^{2}=27$$

将方程式两边同时减去 27。

$$22t-5t^{2}-27=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-5t^{2}+22t-27=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -5 替换 a，22 替换 b，并用 -27 替换 c。

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

对 22 进行平方运算。

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

求 -4 与 -5 的乘积。

$$t=\frac{-22±\sqrt{484+20\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

求 20 与 -27 的乘积。

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-540}}{2\left(-5\right)}$$

将 -540 加上 484。

$$t=\frac{-22±\sqrt{-56}}{2\left(-5\right)}$$

取 -56 的平方根。

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{2\left(-5\right)}$$

求 2 与 -5 的乘积。

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}$$

现在 ± 为加号时求公式 t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10} 的解。 将 2i\sqrt{14} 加上 -22。

$$t=\frac{-22+2\sqrt{14}i}{-10}$$

-22+2i\sqrt{14} 除以 -10。

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10} 的解。 将 -22 减去 2i\sqrt{14}。

$$t=\frac{-2\sqrt{14}i-22}{-10}$$

-22-2i\sqrt{14} 除以 -10。

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5} t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

使用配方法的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$22t-5t^{2}=27$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-5t^{2}+22t=27$$

两边同时除以 -5。

$$\frac{-5t^{2}+22t}{-5}=\frac{27}{-5}$$

除以 -5 是乘以 -5 的逆运算。

$$t^{2}+\frac{22}{-5}t=\frac{27}{-5}$$

22 除以 -5。

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=\frac{27}{-5}$$

27 除以 -5。

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=-\frac{27}{5}$$

将 x 项的系数 -\frac{22}{5} 除以 2 得 -\frac{11}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{27}{5}+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{27}{5}+\frac{121}{25}$$

将 \frac{121}{25} 加上 -\frac{27}{5}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{14}{25}$$

因数 t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{14}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{25}}$$

化简。

$$t-\frac{11}{5}=\frac{\sqrt{14}i}{5} t-\frac{11}{5}=-\frac{\sqrt{14}i}{5}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{5}。

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5} t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$