求解 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1.8+0.2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1.8-0.2i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$25x^{2}-90x+82=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 25 替换 a，-90 替换 b，并用 82 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

对 -90 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

求 -4 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

求 -100 与 82 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

将 -8200 加上 8100。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

取 -100 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

-90 的相反数是 90。

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

求 2 与 25 的乘积。

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{90±10i}{50} 的解。 将 10i 加上 90。

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

90+10i 除以 50。

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{90±10i}{50} 的解。 将 90 减去 10i。

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

90-10i 除以 50。

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$25x^{2}-90x+82=0$$

将等式的两边同时减去 82。

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

82 减去它自己得 0。

$$25x^{2}-90x=-82$$

两边同时除以 25。

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

除以 25 是乘以 25 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

通过求根和消去 5，将分数 \frac{-90}{25} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

将 x 项的系数 -\frac{18}{5} 除以 2 得 -\frac{9}{5}。然后在等式两边同时加上 -\frac{9}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

对 -\frac{9}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

将 \frac{81}{25} 加上 -\frac{82}{25}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

因数 x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

化简。

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

在等式两边同时加 \frac{9}{5}。

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$