求解 25x^2-19x-3=0

$$25 x ^ { 2 } - 19 x - 3 = 0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}\approx 0.894198405$$

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}\approx -0.134198405$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$25x^{2}-19x-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 25 替换 a，-19 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

对 -19 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

求 -4 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

求 -100 与 -3 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+300}}{2\times 25}$$

将 300 加上 361。

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

-19 的相反数是 19。

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

求 2 与 25 的乘积。

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} 的解。 将 \sqrt{661} 加上 19。

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} 的解。 将 19 减去 \sqrt{661}。

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$25x^{2}-19x-3=0$$

在等式两边同时加 3。

$$25x^{2}-19x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 减去它自己得 0。

$$25x^{2}-19x=-\left(-3\right)$$

将 0 减去 -3。

$$25x^{2}-19x=3$$

两边同时除以 25。

$$\frac{25x^{2}-19x}{25}=\frac{3}{25}$$

除以 25 是乘以 25 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{19}{25}x=\frac{3}{25}$$

将 x 项的系数 -\frac{19}{25} 除以 2 得 -\frac{19}{50}。然后在等式两边同时加上 -\frac{19}{50} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{3}{25}+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}$$

对 -\frac{19}{50} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{3}{25}+\frac{361}{2500}$$

将 \frac{361}{2500} 加上 \frac{3}{25}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{661}{2500}$$

对 x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{661}{2500}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{661}{2500}}$$

化简。

$$x-\frac{19}{50}=\frac{\sqrt{661}}{50} x-\frac{19}{50}=-\frac{\sqrt{661}}{50}$$

在等式两边同时加 \frac{19}{50}。

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$