求解 25x^2+30x=12

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0.316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1.516515139$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$25x^{2}+30x=12$$

将等式的两边同时减去 12。

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

12 减去它自己得 0。

$$25x^{2}+30x-12=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 25 替换 a，30 替换 b，并用 -12 替换 c。

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

对 30 进行平方运算。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

求 -4 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

求 -100 与 -12 的乘积。

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

将 1200 加上 900。

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

取 2100 的平方根。

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

求 2 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50} 的解。 将 10\sqrt{21} 加上 -30。

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

-30+10\sqrt{21} 除以 50。

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50} 的解。 将 -30 减去 10\sqrt{21}。

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

-30-10\sqrt{21} 除以 50。

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$25x^{2}+30x=12$$

两边同时除以 25。

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

除以 25 是乘以 25 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

通过求根和消去 5，将分数 \frac{30}{25} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

将 x 项的系数 \frac{6}{5} 除以 2 得 \frac{3}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{3}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{3}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

将 \frac{9}{25} 加上 \frac{12}{25}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

对 x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

化简。

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{5}。

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$