求解 25x^2+20x+12=0

$$25 { x }^{ 2 } +20x+12=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{5}\approx -0.4+0.565685425i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{5}\approx -0.4-0.565685425i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$25x^{2}+20x+12=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 25 替换 a，20 替换 b，并用 12 替换 c。

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

对 20 进行平方运算。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 25\times 12}}{2\times 25}$$

求 -4 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-100\times 12}}{2\times 25}$$

求 -100 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1200}}{2\times 25}$$

将 -1200 加上 400。

$$x=\frac{-20±\sqrt{-800}}{2\times 25}$$

取 -800 的平方根。

$$x=\frac{-20±20\sqrt{2}i}{2\times 25}$$

求 2 与 25 的乘积。

$$x=\frac{-20±20\sqrt{2}i}{50}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-20±20\sqrt{2}i}{50} 的解。 将 20i\sqrt{2} 加上 -20。

$$x=\frac{-20+20\sqrt{2}i}{50}$$

-20+20i\sqrt{2} 除以 50。

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-20±20\sqrt{2}i}{50} 的解。 将 -20 减去 20i\sqrt{2}。

$$x=\frac{-20\sqrt{2}i-20}{50}$$

-20-20i\sqrt{2} 除以 50。

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$25x^{2}+20x+12=0$$

将等式的两边同时减去 12。

$$25x^{2}+20x+12-12=-12$$

12 减去它自己得 0。

$$25x^{2}+20x=-12$$

两边同时除以 25。

$$\frac{25x^{2}+20x}{25}=-\frac{12}{25}$$

除以 25 是乘以 25 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{20}{25}x=-\frac{12}{25}$$

通过求根和消去 5，将分数 \frac{20}{25} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{12}{25}$$

将 x 项的系数 \frac{4}{5} 除以 2 得 \frac{2}{5}。然后在等式两边同时加上 \frac{2}{5} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{12}{25}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

对 \frac{2}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{-12+4}{25}$$

将 \frac{4}{25} 加上 -\frac{12}{25}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{8}{25}$$

因数 x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{8}{25}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{8}{25}}$$

化简。

$$x+\frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{2}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{2\sqrt{2}i}{5}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2}{5}。

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{5}$$