求解 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1.587301587+1.387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1.587301587-1.387414183i$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4+x\right)^{2}。

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

使用分配律将 25 乘以 16+8x+x^{2}。

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

使用分配律将 7 乘以 5-x。

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

使用分配律将 35-7x 乘以 5+x，并组合同类项。

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

400 与 175 相加，得到 575。

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

合并 25x^{2} 和 -7x^{2}，得到 18x^{2}。

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

将方程式两边同时减去 295。

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

将 575 减去 295，得到 280。

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

将 45x^{2} 添加到两侧。

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

合并 18x^{2} 和 45x^{2}，得到 63x^{2}。

$$280+200x+63x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$63x^{2}+200x+280=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 63 替换 a，200 替换 b，并用 280 替换 c。

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

对 200 进行平方运算。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

求 -4 与 63 的乘积。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

求 -252 与 280 的乘积。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

将 -70560 加上 40000。

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

取 -30560 的平方根。

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

求 2 与 63 的乘积。

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} 的解。 将 4i\sqrt{1910} 加上 -200。

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

-200+4i\sqrt{1910} 除以 126。

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} 的解。 将 -200 减去 4i\sqrt{1910}。

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

-200-4i\sqrt{1910} 除以 126。

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(4+x\right)^{2}。

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

使用分配律将 25 乘以 16+8x+x^{2}。

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

使用分配律将 7 乘以 5-x。

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

使用分配律将 35-7x 乘以 5+x，并组合同类项。

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

400 与 175 相加，得到 575。

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

合并 25x^{2} 和 -7x^{2}，得到 18x^{2}。

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

将 45x^{2} 添加到两侧。

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

合并 18x^{2} 和 45x^{2}，得到 63x^{2}。

$$575+200x+63x^{2}=295$$

将方程式两边同时减去 575。

$$200x+63x^{2}=295-575$$

将 295 减去 575，得到 -280。

$$200x+63x^{2}=-280$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$63x^{2}+200x=-280$$

两边同时除以 63。

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

除以 63 是乘以 63 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

通过求根和消去 7，将分数 \frac{-280}{63} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

将 x 项的系数 \frac{200}{63} 除以 2 得 \frac{100}{63}。然后在等式两边同时加上 \frac{100}{63} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

对 \frac{100}{63} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

将 \frac{10000}{3969} 加上 -\frac{40}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

因数 x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

化简。

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

将等式的两边同时减去 \frac{100}{63}。

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$