求解 24x^2+16xy+8=84

$$24 { x }^{ 2 } +16xy+8=84$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

$$x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$24x^{2}+16yx+8=84$$

将等式的两边同时减去 84。

$$24x^{2}+16yx+8-84=84-84$$

84 减去它自己得 0。

$$24x^{2}+16yx+8-84=0$$

将 8 减去 84。

$$24x^{2}+16yx-76=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 24 替换 a，16y 替换 b，并用 -76 替换 c。

$$x=\frac{-16y±\sqrt{\left(16y\right)^{2}-4\times 24\left(-76\right)}}{2\times 24}$$

对 16y 进行平方运算。

$$x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}-4\times 24\left(-76\right)}}{2\times 24}$$

求 -4 与 24 的乘积。

$$x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}-96\left(-76\right)}}{2\times 24}$$

求 -96 与 -76 的乘积。

$$x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}+7296}}{2\times 24}$$

取 256y^{2}+7296 的平方根。

$$x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{2\times 24}$$

求 2 与 24 的乘积。

$$x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48} 的解。 将 8\sqrt{4y^{2}+114} 加上 -16y。

$$x=\frac{8\sqrt{4y^{2}+114}-16y}{48}$$

-16y+8\sqrt{4y^{2}+114} 除以 48。

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48} 的解。 将 -16y 减去 8\sqrt{4y^{2}+114}。

$$x=\frac{-8\sqrt{4y^{2}+114}-16y}{48}$$

-16y-8\sqrt{4y^{2}+114} 除以 48。

$$x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3} x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$24x^{2}+16yx+8=84$$

将等式的两边同时减去 8。

$$24x^{2}+16yx+8-8=84-8$$

8 减去它自己得 0。

$$24x^{2}+16yx=84-8$$

将 84 减去 8。

$$24x^{2}+16yx=76$$

两边同时除以 24。

$$\frac{24x^{2}+16yx}{24}=\frac{76}{24}$$

除以 24 是乘以 24 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{16y}{24}x=\frac{76}{24}$$

16y 除以 24。

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x=\frac{76}{24}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{76}{24} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x=\frac{19}{6}$$

将 x 项的系数 \frac{2y}{3} 除以 2 得 \frac{y}{3}。然后在等式两边同时加上 \frac{y}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}$$

对 \frac{y}{3} 进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9}=\frac{19}{6}+\frac{y^{2}}{9}$$

将 \frac{y^{2}}{9} 加上 \frac{19}{6}。

$$x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9}=\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}$$

对 x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{y}{3}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{y}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}}$$

化简。

$$x+\frac{y}{3}=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6} x+\frac{y}{3}=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{y}{3}。

$$x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3} x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}$$

求解 y 的值

$$y=-\frac{3x}{2}+\frac{19}{4x},x\neq 0$$

求解线性方程的步骤

将方程式两边同时减去 24x^{2}。

$$16xy+8=84-24x^{2}$$

将方程式两边同时减去 8。

$$16xy=84-24x^{2}-8$$

将 84 减去 8，得到 76。

$$16xy=76-24x^{2}$$

两边同时除以 16x。

$$\frac{16xy}{16x}=\frac{76-24x^{2}}{16x}$$

除以 16x 是乘以 16x 的逆运算。

$$y=\frac{76-24x^{2}}{16x}$$

76-24x^{2} 除以 16x。

$$y=-\frac{3x}{2}+\frac{19}{4x}$$