求解 21=3+35x-16x^2

$$21 = 3 + 35 x - 16 x ^ { 2 }$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{73} + 35}{32} \approx 1.360750117$$

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}\approx 0.826749883$$

运用二次公式的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$3+35x-16x^{2}=21$$

将方程式两边同时减去 21。

$$3+35x-16x^{2}-21=0$$

将 3 减去 21，得到 -18。

$$-18+35x-16x^{2}=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-16x^{2}+35x-18=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -16 替换 a，35 替换 b，并用 -18 替换 c。

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\left(-16\right)\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

对 35 进行平方运算。

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\left(-16\right)\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

求 -4 与 -16 的乘积。

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+64\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

求 64 与 -18 的乘积。

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-1152}}{2\left(-16\right)}$$

将 -1152 加上 1225。

$$x=\frac{-35±\sqrt{73}}{2\left(-16\right)}$$

求 2 与 -16 的乘积。

$$x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32} 的解。 将 \sqrt{73} 加上 -35。

$$x=\frac{\sqrt{73}-35}{-32}$$

-35+\sqrt{73} 除以 -32。

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32} 的解。 将 -35 减去 \sqrt{73}。

$$x=\frac{-\sqrt{73}-35}{-32}$$

-35-\sqrt{73} 除以 -32。

$$x=\frac{\sqrt{73}+35}{32}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32} x=\frac{\sqrt{73}+35}{32}$$

使用配方法的步骤

移项以使所有变量项位于左边。

$$3+35x-16x^{2}=21$$

将方程式两边同时减去 3。

$$35x-16x^{2}=21-3$$

将 21 减去 3，得到 18。

$$35x-16x^{2}=18$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-16x^{2}+35x=18$$

两边同时除以 -16。

$$\frac{-16x^{2}+35x}{-16}=\frac{18}{-16}$$

除以 -16 是乘以 -16 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{35}{-16}x=\frac{18}{-16}$$

35 除以 -16。

$$x^{2}-\frac{35}{16}x=\frac{18}{-16}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{18}{-16} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{35}{16}x=-\frac{9}{8}$$

将 x 项的系数 -\frac{35}{16} 除以 2 得 -\frac{35}{32}。然后在等式两边同时加上 -\frac{35}{32} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\left(-\frac{35}{32}\right)^{2}=-\frac{9}{8}+\left(-\frac{35}{32}\right)^{2}$$

对 -\frac{35}{32} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}=-\frac{9}{8}+\frac{1225}{1024}$$

将 \frac{1225}{1024} 加上 -\frac{9}{8}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}=\frac{73}{1024}$$

因数 x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{35}{32}\right)^{2}=\frac{73}{1024}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{1024}}$$

化简。

$$x-\frac{35}{32}=\frac{\sqrt{73}}{32} x-\frac{35}{32}=-\frac{\sqrt{73}}{32}$$

在等式两边同时加 \frac{35}{32}。

$$x=\frac{\sqrt{73}+35}{32} x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}$$