求解 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$20x^{2}-28x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 20 替换 a，-28 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

对 -28 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

求 -4 与 20 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

求 -80 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

将 80 加上 784。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

取 864 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

-28 的相反数是 28。

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

求 2 与 20 的乘积。

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} 的解。 将 12\sqrt{6} 加上 28。

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

28+12\sqrt{6} 除以 40。

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} 的解。 将 28 减去 12\sqrt{6}。

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

28-12\sqrt{6} 除以 40。

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$20x^{2}-28x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$20x^{2}-28x=1$$

两边同时除以 20。

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

除以 20 是乘以 20 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{-28}{20} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{5} 除以 2 得 -\frac{7}{10}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

将 \frac{49}{100} 加上 \frac{1}{20}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

因数 x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{10}。

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$