求解 20x^2-157x+222=0

$$20 x ^ { 2 } - 157 x + 222 = 0$$

求解 x 的值

$$x=6$$

$$x = \frac{37}{20} = 1\frac{17}{20} = 1.85$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$20x^{2}-157x+222=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 20 替换 a，-157 替换 b，并用 222 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{\left(-157\right)^{2}-4\times 20\times 222}}{2\times 20}$$

对 -157 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{24649-4\times 20\times 222}}{2\times 20}$$

求 -4 与 20 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{24649-80\times 222}}{2\times 20}$$

求 -80 与 222 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{24649-17760}}{2\times 20}$$

将 -17760 加上 24649。

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{6889}}{2\times 20}$$

取 6889 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-157\right)±83}{2\times 20}$$

-157 的相反数是 157。

$$x=\frac{157±83}{2\times 20}$$

求 2 与 20 的乘积。

$$x=\frac{157±83}{40}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{157±83}{40} 的解。 将 83 加上 157。

$$x=\frac{240}{40}$$

240 除以 40。

$$x=6$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{157±83}{40} 的解。 将 157 减去 83。

$$x=\frac{74}{40}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{74}{40} 降低为最简分数。

$$x=\frac{37}{20}$$

现已求得方程式的解。

$$x=6 x=\frac{37}{20}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$20x^{2}-157x+222=0$$

将等式的两边同时减去 222。

$$20x^{2}-157x+222-222=-222$$

222 减去它自己得 0。

$$20x^{2}-157x=-222$$

两边同时除以 20。

$$\frac{20x^{2}-157x}{20}=-\frac{222}{20}$$

除以 20 是乘以 20 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{157}{20}x=-\frac{222}{20}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-222}{20} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{157}{20}x=-\frac{111}{10}$$

将 x 项的系数 -\frac{157}{20} 除以 2 得 -\frac{157}{40}。然后在等式两边同时加上 -\frac{157}{40} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{157}{20}x+\left(-\frac{157}{40}\right)^{2}=-\frac{111}{10}+\left(-\frac{157}{40}\right)^{2}$$

对 -\frac{157}{40} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{157}{20}x+\frac{24649}{1600}=-\frac{111}{10}+\frac{24649}{1600}$$

将 \frac{24649}{1600} 加上 -\frac{111}{10}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{157}{20}x+\frac{24649}{1600}=\frac{6889}{1600}$$

因数 x^{2}-\frac{157}{20}x+\frac{24649}{1600}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{157}{40}\right)^{2}=\frac{6889}{1600}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{157}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6889}{1600}}$$

化简。

$$x-\frac{157}{40}=\frac{83}{40} x-\frac{157}{40}=-\frac{83}{40}$$

在等式两边同时加 \frac{157}{40}。

$$x=6 x=\frac{37}{20}$$