求解 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

求解 x 的值

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 20x^{2}+ax+bx-1。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -20 的所有此类整数对。

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

计算每对之和。

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

该解答是总和为 -1 的对。

$$a=-5 b=4$$

将 20x^{2}-x-1 改写为 \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)。

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

从 20x^{2}-5x 分解出因子 5x。

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

通过使用分布式属性分解出共同项 4x-1。

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

若要找到方程解，请解 4x-1=0 和 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$20x^{2}-x-1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 20 替换 a，-1 替换 b，并用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

求 -4 与 20 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

求 -80 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

将 80 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

取 81 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

求 2 与 20 的乘积。

$$x=\frac{1±9}{40}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±9}{40} 的解。 将 9 加上 1。

$$x=\frac{10}{40}$$

通过求根和消去 10，将分数 \frac{10}{40} 降低为最简分数。

$$x=\frac{1}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±9}{40} 的解。 将 1 减去 9。

$$x=-\frac{8}{40}$$

通过求根和消去 8，将分数 \frac{-8}{40} 降低为最简分数。

$$x=-\frac{1}{5}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$20x^{2}-x-1=0$$

在等式两边同时加 1。

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 减去它自己得 0。

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

将 0 减去 -1。

$$20x^{2}-x=1$$

两边同时除以 20。

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

除以 20 是乘以 20 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{20} 除以 2 得 -\frac{1}{40}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{40} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{40} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

将 \frac{1}{1600} 加上 \frac{1}{20}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

因数 x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{40}。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$