求解 20x^2+10x-20=0

$$20 { x }^{ 2 } +10x-20=0$$

求解 x 的值

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}\approx 0.780776406$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}\approx -1.280776406$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$20x^{2}+10x-20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 20 替换 a，10 替换 b，并用 -20 替换 c。

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 20\left(-20\right)}}{2\times 20}$$

对 10 进行平方运算。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 20\left(-20\right)}}{2\times 20}$$

求 -4 与 20 的乘积。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-80\left(-20\right)}}{2\times 20}$$

求 -80 与 -20 的乘积。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\times 20}$$

将 1600 加上 100。

$$x=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\times 20}$$

取 1700 的平方根。

$$x=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\times 20}$$

求 2 与 20 的乘积。

$$x=\frac{-10±10\sqrt{17}}{40}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-10±10\sqrt{17}}{40} 的解。 将 10\sqrt{17} 加上 -10。

$$x=\frac{10\sqrt{17}-10}{40}$$

-10+10\sqrt{17} 除以 40。

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-10±10\sqrt{17}}{40} 的解。 将 -10 减去 10\sqrt{17}。

$$x=\frac{-10\sqrt{17}-10}{40}$$

-10-10\sqrt{17} 除以 40。

$$x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$20x^{2}+10x-20=0$$

在等式两边同时加 20。

$$20x^{2}+10x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

-20 减去它自己得 0。

$$20x^{2}+10x=-\left(-20\right)$$

将 0 减去 -20。

$$20x^{2}+10x=20$$

两边同时除以 20。

$$\frac{20x^{2}+10x}{20}=\frac{20}{20}$$

除以 20 是乘以 20 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{10}{20}x=\frac{20}{20}$$

通过求根和消去 10，将分数 \frac{10}{20} 降低为最简分数。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{20}$$

20 除以 20。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=1$$

将 x 项的系数 \frac{1}{2} 除以 2 得 \frac{1}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=1+\frac{1}{16}$$

将 \frac{1}{16} 加上 1。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{17}{16}$$

因数 x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{17}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{16}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{17}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{17}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{17}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$$