求解 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

求解 z 的值

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0.5+1.5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0.5-1.5i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2z^{2}-2z+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-2 替换 b，并用 5 替换 c。

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

对 -2 进行平方运算。

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

求 -8 与 5 的乘积。

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

将 -40 加上 4。

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

取 -36 的平方根。

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

-2 的相反数是 2。

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{2±6i}{4} 的解。 将 6i 加上 2。

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

2+6i 除以 4。

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{2±6i}{4} 的解。 将 2 减去 6i。

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

2-6i 除以 4。

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

现已求得方程式的解。

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2z^{2}-2z+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$2z^{2}-2z=-5$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

-2 除以 2。

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -\frac{5}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

因数 z^{2}-z+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

化简。

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$