求解 2y^2+5y-2=0

$$2 y ^ { 2 } + 5 y - 2 = 0$$

求解 y 的值

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4}\approx 0.350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}\approx -2.850781059$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2y^{2}+5y-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，5 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

对 5 进行平方运算。

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-2\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -2 的乘积。

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+16}}{2\times 2}$$

将 16 加上 25。

$$y=\frac{-5±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 \sqrt{41} 加上 -5。

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-5±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 -5 减去 \sqrt{41}。

$$y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2y^{2}+5y-2=0$$

在等式两边同时加 2。

$$2y^{2}+5y-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 减去它自己得 0。

$$2y^{2}+5y=-\left(-2\right)$$

将 0 减去 -2。

$$2y^{2}+5y=2$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2y^{2}+5y}{2}=\frac{2}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=\frac{2}{2}$$

2 除以 2。

$$y^{2}+\frac{5}{2}y=1$$

将 x 项的系数 \frac{5}{2} 除以 2 得 \frac{5}{4}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=1+\frac{25}{16}$$

将 \frac{25}{16} 加上 1。

$$y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}=\frac{41}{16}$$

因数 y^{2}+\frac{5}{2}y+\frac{25}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

化简。

$$y+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{4}。

$$y=\frac{\sqrt{41}-5}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-5}{4}$$