求解 2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

求解 y 的值

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1.545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1.345683229$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

使用分配律将 3 乘以 \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

将 \frac{3}{25} 减去 2，得到 -\frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

将方程式两边同时减去 -\frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

-\frac{47}{25} 的相反数是 \frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

将 \frac{6}{5}y 添加到两侧。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

\frac{1}{5} 与 \frac{47}{25} 相加，得到 \frac{52}{25}。

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

合并 -y 和 \frac{6}{5}y，得到 \frac{1}{5}y。

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

将方程式两边同时减去 3y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

合并 2y^{2} 和 -3y^{2}，得到 -y^{2}。

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，\frac{1}{5} 替换 b，并用 \frac{52}{25} 替换 c。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

对 \frac{1}{5} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

求 4 与 \frac{52}{25} 的乘积。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

将 \frac{208}{25} 加上 \frac{1}{25}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

取 \frac{209}{25} 的平方根。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} 的解。 将 \frac{\sqrt{209}}{5} 加上 -\frac{1}{5}。

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

\frac{-1+\sqrt{209}}{5} 除以 -2。

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} 的解。 将 -\frac{1}{5} 减去 \frac{\sqrt{209}}{5}。

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

\frac{-1-\sqrt{209}}{5} 除以 -2。

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

使用分配律将 3 乘以 \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

将 \frac{3}{25} 减去 2，得到 -\frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

将 \frac{6}{5}y 添加到两侧。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

合并 -y 和 \frac{6}{5}y，得到 \frac{1}{5}y。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

将方程式两边同时减去 3y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

合并 2y^{2} 和 -3y^{2}，得到 -y^{2}。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

将方程式两边同时减去 \frac{1}{5}。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

将 -\frac{47}{25} 减去 \frac{1}{5}，得到 -\frac{52}{25}。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

\frac{1}{5} 除以 -1。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

-\frac{52}{25} 除以 -1。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

将 x 项的系数 -\frac{1}{5} 除以 2 得 -\frac{1}{10}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{10} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{10} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

将 \frac{1}{100} 加上 \frac{52}{25}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

因数 y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

化简。

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{10}。

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$