求解 2x^2-9x+5=0

$$2 x ^ { 2 } - 9 x + 5 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{41} + 9}{4} \approx 3.850781059$$

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}\approx 0.649218941$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-9x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-9 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

对 -9 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 5}}{2\times 2}$$

求 -8 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-40}}{2\times 2}$$

将 -40 加上 81。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

-9 的相反数是 9。

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{9±\sqrt{41}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 \sqrt{41} 加上 9。

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{9±\sqrt{41}}{4} 的解。 将 9 减去 \sqrt{41}。

$$x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-9x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$2x^{2}-9x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-9x=-5$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=-\frac{5}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{2}$$

将 x 项的系数 -\frac{9}{2} 除以 2 得 -\frac{9}{4}。然后在等式两边同时加上 -\frac{9}{4} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

对 -\frac{9}{4} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

将 \frac{81}{16} 加上 -\frac{5}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{41}{16}$$

因数 x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

化简。

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

在等式两边同时加 \frac{9}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{41}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$$