求解 2x^2-4x+12=0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 12 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=1+\sqrt{5}i\approx 1+2.236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+1\approx 1-2.236067977i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}-4x+12=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，-4 替换 b，并用 12 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

对 -4 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\times 12}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\times 12}}{2\times 2}$$

求 -8 与 12 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 2}$$

将 -96 加上 16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 2}$$

取 -80 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 2}$$

-4 的相反数是 4。

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{4} 的解。 将 4i\sqrt{5} 加上 4。

$$x=\frac{4+4\sqrt{5}i}{4}$$

4+4i\sqrt{5} 除以 4。

$$x=1+\sqrt{5}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{4} 的解。 将 4 减去 4i\sqrt{5}。

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{4}$$

4-4i\sqrt{5} 除以 4。

$$x=-\sqrt{5}i+1$$

现已求得方程式的解。

$$x=1+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+1$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}-4x+12=0$$

将等式的两边同时减去 12。

$$2x^{2}-4x+12-12=-12$$

12 减去它自己得 0。

$$2x^{2}-4x=-12$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}-4x}{2}=-\frac{12}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{2}\right)x=-\frac{12}{2}$$

-4 除以 2。

$$x^{2}-2x=-\frac{12}{2}$$

-12 除以 2。

$$x^{2}-2x=-6$$

将 x 项的系数 -2 除以 2 得 -1。然后在等式两边同时加上 -1 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-2x+1=-6+1$$

将 1 加上 -6。

$$x^{2}-2x+1=-5$$

对 x^{2}-2x+1 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-1\right)^{2}=-5$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

化简。

$$x-1=\sqrt{5}i x-1=-\sqrt{5}i$$

在等式两边同时加 1。

$$x=1+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+1$$